Numerička matematika - 20. predavanje

1. Nelinearne jednadžbe u više dimenzija

U sljedećem predavanju kratko opisujemo rješavanje nelinearnih jednadžbi u više dimenzija. Najviše ćemo se baviti Newtonovom metodom i njenim modifikacijama. Broydenova metoda je dana kao prikaz modifikacije Newtonove metode.

from IPython.lib.display import YouTubeVideo
vid = YouTubeVideo("dpMG-EmOETo")
display(vid)

2. Vježbe

Riješite navedene primjere prateći postupak objašnjen u prethodnom videu, njihovo rješavanje bit će prikazano u kratkom videu tokom dana.

Zadatak 1 a) Napišite kako glasi Newtonov iteracijski postupak u više dimenzija za rješavanje sustava $\mathbb{F}(\mathbb{x})=0$ gdje je $\mathbb{F}:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d$ i $\mathbb{x}\in \mathbb{R}^d$, uz danu početnu vrijednost $\mathbb{x}^0$.

b) Izračunajte prvu iteraciju Newtonove metode za rješavanje sustava \begin{align*} x_1^{2} -x_2^2=0\\ 2 x_1 x_2=0 \end{align*} pri čemu je početna iteracija $\mathbb{x}^0=[0,1]^T.$

**Zadatak 2 ** Izračunajte prvu iteraciju Newtonove metode za rješavanje sustava \begin{align*} x_1^{2} +x_2^2=1\\ (x_1-2)^2+ (x_2-1)^2=4 \end{align*} pri čemu je početna iteracija $\mathbb{x}^0=[1,2]^T.$

Zadatak 3 Izračunajte prvu iteraciju Newtonove metode za rješavanje sustava \begin{align*} x_1^{3} +x_2=1\\ x_2^2- x_1=-1 \end{align*} pri čemu je početna iteracija $\mathbb{x}^0=[0.5,0.5]^T.$

Zadatak 4 Izračunajte drugu iteraciju Newtonove metode za rješavanje sustava \begin{align*} x_1 +2x_2=2\\ x_1^2+4 x_2^2=4 \end{align*} pri čemu je početna iteracija $\mathbb{x}^0=[1,2]^T.$

vid = YouTubeVideo("HTkxAIiFQ-M")
display(vid)