Numerička matematika - 17. predavanje

1. SVD faktorizacija matrice i primjena u metodi najmanjih kvadrata

U ovom predavanju uvodimo SVD faktorizaciju u smislu primjene na rješavanje problema najmanjih kvadrata

from IPython.lib.display import YouTubeVideo
vid = YouTubeVideo("RnvseOGCM7w")
display(vid)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
A=np.array([[1.0, 2.0, 3.0 ],[3, 5.0, 7.0], [2.0, 7.0, 9.0], [3,2,1]])
np.linalg.svd(A)

(array([[-2.42673503e-01, -1.85001193e-02,  3.37989207e-01,
          9.09137290e-01],
        [-5.90346523e-01,  1.87035599e-01,  6.73233512e-01,
         -4.04061018e-01],
        [-7.49103832e-01, -3.57914448e-01, -5.57441205e-01,
          7.77156117e-16],
        [-1.77324567e-01,  9.14643471e-01, -3.48968821e-01,
          1.01015254e-01]]),
 array([15.38681237,  2.78681182,  0.69259283]),
 array([[-0.26281561, -0.58722076, -0.76557151],
        [ 0.92245489,  0.07968373, -0.3777929 ],
        [ 0.28285143, -0.80549506,  0.52074253]]))

2. Još o SVD faktorizaciji i primjenama

from PIL import Image
slika = Image.open('macka1.jpg')
#imggray = img.convert('LA')
plt.figure(figsize=(5, 4))
plt.imshow(slika);

matrica = np.array(list(slika.getdata(band=0)), float)
matrica.shape = (slika.size[1], slika.size[0])
matrica = np.matrix(matrica)
plt.figure(figsize=(5,4))
plt.imshow(matrica, cmap='gray');

U, sigma, V = np.linalg.svd(matrica)

for i in range(5, 36, 10):
    manji_rang = np.matrix(U[:, :i]) * np.diag(sigma[:i]) * np.matrix(V[:i, :])
    plt.imshow(manji_rang, cmap='gray')
    title = "n = %s" % i
    plt.title(title)
    plt.show()

U ovom dijelu predavanja reći ćemo ukratko neđto o primjenama SVD dekompozicije matrice

vid = YouTubeVideo("YlzFXpXd9Ow") 
display(vid)

3. rješavanje nelineanih jednadžbi

U sljedećem dijelu predavanja uvodimo metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi. Prva od njih je metoda jednostavnih iteracija.

vid = YouTubeVideo("UZnAQ2DpwZo") 
display(vid)